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Cari amici, ho letto con interesse l’articolo dell’anno scorso sulla relatività ristretta ed ho notato qualche inesattezza nelle risposte e nei tentativi di spiegazione. Nessuno si senta però imbarazzato. Molti ricercatori hanno spesso dato interpretazioni diverse e spesso non del tutto corrette. L’argomento è davvero molto ostico e si presta a differenti modi di analisi. Lungi da me però cercare di descrivere in queste pagine i concetti base e le ripercussioni delle teorie di Einstein. Sarebbe troppo ambizioso e pesante e sicuramente non ne sarei nemmeno capace.
Tuttavia, per cercare di far capire in modo semplice ed abbastanza intuitivo la differenza tra relatività ristretta (la prima formulata) e relatività generale (la sua estensione) può essere molto interessante affrontare il celebre, e spesso non compreso, paradosso dei gemelli. Attraverso esso capiremo anche qualcosa sui sistemi di riferimento e sui concetti dello spazio-tempo. Ma soprattutto vedremo che quello che sembra un paradosso nella relatività ristretta non lo è più nella relatività generale. Inoltre prenderemo un po’ di dimestichezza con il diagramma di Minkowski (non spaventatevi!), che ci permetterà in un articolo futuro di affrontare adeguatamente i viaggi nel tempo attraverso i buchi neri.
Due gemelli molto diversi
Carlo e Gianni sono due fratelli gemelli. Ma i loro interessi sono molto diversi. Carlo è un sedentario e non ama viaggiare. Fosse per lui se ne starebbe sempre a casa a lavorare sul computer. Conosce bene la fisica, ma non vuole certo mettere in pratica le sue grandi possibilità. Gianni, invece, è un uomo d’azione. Forse meno preparato scientificamente, ha però una forte dote di coraggio ed una sete di avventura senza limiti.
Appena la tecnologia spaziale riesce finalmente a permetterlo, ecco che si candida ad essere il primo viaggiatore interstellare. Non si pone nessun problema e non ha alcuna paura ad essere un pioniere, accettando tutti i rischi del caso. Carlo accompagna Gianni allo spazioporto e gli augura buona fortuna, senza però nessuna invidia. Lui è ben contento di restare con i piedi ben fermi sulla Terra. Gianni invece non vede l’ora di partire. La sua avventura lo porterà su una stella che dista 10 anni luce di distanza e viaggerà alla non trascurabile velocità di 200.000 chilometri al secondo, una bella frazione della velocità della luce (2/3).
Carlo, come già detto, è un ottimo scienziato e ha già calcolato esattamente che a quella velocità il fratello impiegherà 15 anni a raggiungere la meta ed altrettanti a tornare. Un tempo piuttosto lungo, ma spera ardentemente di essere ancora in vita per riabbracciarlo: in fondo hanno solo 20 anni! arriva finalmente il momento della partenza tanto atteso. L’astronave si lancia nello spazio e Gianni ammira sempre più emozionato tutte le meraviglie che lo circondano attraverso l’enorme oblò di bordo.
Il Viaggio
All’interno dell’astronave ci sono tutte le comodità del caso ed il soggiorno è in fondo estremamente piacevole, malgrado la solitudine. Ma quella è un peso che deve sopportare per poter vivere una simile avventura. Chissà cosa si era immaginato il nostro Gianni: pensava di subire forze strane o di vedere cose assurde andando a quella velocità. Invece niente, gli sembra di essere nel salotto di casa davanti alla televisione. Anche l’orologio che domina la parete sembra andare normalmente. Avevano cercato di spiegargli tante teorie difficili, ma a lui ora sembra tutto talmente normale da esserne quasi annoiato. L’unica cosa che nota con sicurezza è che la Terra si allontana ad una velocità spaventosa. A lui sembra di essere fermo, mentre il pianeta viaggia sicuramente ad almeno 200.000 chilometri al secondo.
Passa molto tempo, ma finalmente ecco che l’oblò si riempie della infuocata immagine della stella, meta della sua “gita”. Deve stare attento adesso a non passare troppo vicino. Comincia infatti a fare un po’ caldo. Poche sapienti correzioni di rotta e l’astronave compie un largo giro intorno all’astro e si rimette in direzione del Sistema Solare. Si torna a casa. In fondo anche per un avventuriero come lui è diventato adesso un magnifico pensiero. Bisogna però fare passare il tempo (il paesaggio è lo stesso dell’andata). Malgrado non sia un vero esperto, si mette a fare un po’ di conti e cerca di applicare quella formuletta che il fratello gli aveva mostrato e spiegato varie volte prima della partenza. In fondo non è difficile, anche se a lui sembra un po’ assurda:
Gianni gli aveva detto che t0 è il tempo di chi sta fermo, v è la velocità a cui sta viaggiando uno che si muove e c è la velocità della luce. Applicando la formula si ricava il tempo relativo a chi è in movimento. In altre parole si trova che andando sempre più veloce il tempo rallenta. Infatti se uno sta fermo, v = 0, la radice quadrata di 1 è sempre 1 e quindi t = t0. Banale! Se invece si andasse alla velocità della luce, v sarebbe proprio c (circa 300000 chilometri al secondo) e dentro la radice quadrata si avrebbe 1-1, ossia 0. Ma t0 ∙ 0 = 0. Ossia t = 0. Il tempo si fermerebbe … Accidenti!!
Tuttavia Gianni si sente così “normale” dentro l’astronave che pensa di applicare la formula a suo fratello che è rimasto sulla Terra. Ha visto perfettamente con i suoi occhi che la Terra viaggiava ad una velocità spaventosa, gli sembra di ricordare a circa 200.000 chilometri al secondo. Inserisce quindi questo valore nella formula e trova facilmente che t = 11 anni per l’andata e lo stesso valore per il ritorno. Ossia il tempo passato per suo fratello sulla Terra dovrebbe essere stato di 22 anni quando tornerà a casa. Quindi Carlo avrà 20 + 22 = 42 anni quando lo riabbraccerà.
E lui ? Si ricorda perfettamente cosa gli aveva detto il fratello prima della partenza. Per andare e tornare ci vogliono 30 anni, 15 per l’andata e 15 per il ritorno. La stella dista 10 anni luce e per arrivare ci vogliono proprio 15 anni (il calcolo è banale se si sa che si viaggia a 2/3 della velocità dalla luce). Porca miseria, allora avrà 20 + 30 = 50 anni e sarà più vecchio di quel pigro di Carlo. Non è giusto!! Eppure questo è quello che viene fuori dai calcoli. Ovviamente sta facendo un grande errore perché pensa di essere fermo, mentre in realtà viaggia a grande velocità. Ma ha anche ragione a dire che è la Terra che viaggia a 200.000 chilometri al secondo. Accidenti che pasticcio e che confusione. Non resta che aspettare e saprà tutto al suo ritorno.
Il ritorno
Finalmente a casa! Che avventura, ma che noia anche! Tanti anni da solo, a pensare e pensare, ed alla fine fare soltanto un mucchio di confusione. Gianni scende dalla scaletta dell’astronave e vede tra la folla la ben nota figura del fratello che gli viene incontro. Si, è proprio lui, Carlo. Gli anni sono sicuramente passati anche per lui. Se lo aspettava più giovane … Forse perché ha già i capelli quasi completamente bianchi? Oppure per quelle rughe che gli solcano il viso? Dovrebbe avere soltanto 42 anni e invece ne dimostra almeno 50, come lui, anzi sembra più vecchio.
Carlo lo abbraccia ed esclama: “come sei in forma caro Gianni. D’altra parte hai solo 42 anni, otto in meno di un “vecchietto” come me, che ha appena superato i fatidici 50!” Per Gianni è il caos completo e lo dice subito al fratello: “sei tu che dovresti essere il più giovane. Ho fatto i calcoli sull’astronave! Proprio quelli che mi avevi spiegato tu”. Carlo sorride e gli risponde: “guarda che eri tu che andavi a grande velocità nello spazio, non io, e quindi sei tu che sei più giovane. Per me sono passati 30 anni, ma per te che viaggiavi a 200.000 chilometri al secondo soltanto 22!!”. Gianni non demorde: “sarà quel che sarà. Ma ti ho visto io con questi occhi viaggiare con la Terra alla stessa velocità. Non lo puoi negare”. Carlo sembra imbarazzato e comincia a pensare.
Qualcosa non torna nemmeno a lui. In fondo il fratello ha ragione: nel suo sistema di riferimento era la Terra a viaggiare. Ma anche il suo ragionamento è giusto. Tutti possono confermare, anche lo stesso Gianni, che l’astronave ha veramente raggiunto la stella così lontana e per farlo doveva per forza andare a quella enorme velocità. Balbetta qualcosa e poi è costretto ad ammettere ad alta voce: ”abbiamo ragione tutti e due, accidenti! Ma allora perché sono io il più vecchio? Questo è un vero PARADOSSO!!”. Infatti il paradosso non sta nel fatto che uno possa essere più giovane dell’altro (come molti pensano), ma nel fatto che entrambi sembrano aver ragione mentre invece la verità è una sola!
Quale sarà?
http://www.astronomia.com/2008/06/19/il-pa...elli-parte-1/2/
Dopo aver lasciato, nel primo appuntamento, Carlo e Gianni alle prese con un vero paradosso, eccoci arrivati alla risoluzione!
Arriva il vecchio saggio
Mentre i due fratelli si guardano negli occhi e non riescono a capire la situazione, ecco che un vecchio signore dai capelli bianchi ed una faccia molto simpatica gli si avvicina sorridendo. “la colpa è mia”, dice, “e della mia teoria della relatività ristretta … Se la utilizzate, avete perfettamente ragione tutti e due. Ma invece in realtà uno solo ha fatto il calcolo giusto: Carlo. E’ proprio lui il più vecchio!”. I due fratelli lo guardano con diffidenza, ma anche con interesse. “E come puoi allora spiegare questa contraddizione che ci sta sconvolgendo? Siamo forse impazziti entrambi?”.
“Niente di tutto questo, cari ragazzi! Era la teoria che era imperfetta. Tutto si risolve con la mia recente scoperta: la relatività generale. Una differenza tra voi due c’è stata ed è molto importante. Carlo, sulla Terra, non ha mai cambiato il suo sistema di riferimento. Gianni invece si. Prima all’andata e poi al ritorno. Non c’è simmetria e la teoria precedente non vale in queste condizioni: il paradosso non esiste assolutamente”.
A Gianni queste parole bastano ed avanzano. Non ha capito praticamente niente, ma sa di essere il più giovane e ne è estremamente contento. Al diavolo le spiegazioni difficili. In fondo è come se avesse guadagnato 8 anni di vita e vuole andare a festeggiare con i suoi vecchi amici, tutti ormai più in là di lui con l’età. Ma Carlo non è soddisfatto e vuole saperne di più, quasi offeso da quel buffo vecchietto che lo ha gettato nella confusione più nera. E’ molto amareggiato e quasi arrabbiato e chiede, anzi impone, una dettagliata spiegazione.
Lo scienziato fa un cenno affermativo e si dice pronto a fornire un chiarimento, per quanto possibile semplice ed intuitivo. Ammette però che non sarà molto facile e che bisognerà avere un po’ di concentrazione. Prima di tutto avvisa Carlo che sarà tutto molto più semplice introducendo il diagramma di Minkowsky, legato alla classica definizione di cono di luce. Il gemello è senz’altro disposto a questo sforzo supplementare e attende in religioso silenzio la descrizione dell’anziano fisico.
La spiegazione
“Lo spazio che tutti conosciamo molto bene ha tre dimensioni: lunghezza, larghezza ed altezza. Ogni punto può quindi essere individuato nello spazio cartesiano, individuato dai tre assi x, y, z, dalle sue coordinate relative, come si vede bene nella figura a fianco.
Ma oggi sappiamo che lo spazio ed il tempo sono strettamente collegati ed è quindi essenziale rappresentare anche quest’ultima coordinata. Per far questo avremmo bisogno di quattro dimensioni e noi non siamo assolutamente capaci di disegnare niente di questo tipo. Possiamo però fare un’approssimazione. Immaginiamo che lo spazio abbia solo due dimensioni (un po’ come i dipinti degli antichi egizi) e diamo al tempo la terza dimensione. La figura rimane la stessa di prima, ma al posto della z inseriamo il tempo t. Adesso per un certo punto A (o evento) disegnamo la sua possibilità di interagire con il tempo: questa viene rappresentata da un cono, detto cono di luce. La superficie del cono rappresenta tutte le possibili posizioni future del punto A se si muovesse alla velocità della luce. All’interno del cono vi è il futuro possibile muovendosi a velocità inferiori. Al di fuori del cono è ovviamente impossibile andare (si supererebbe la velocità della luce). Il prolungamento del cono in direzione opposta rappresenta il passato dell’evento A, in cui non si potrà più tornare (vedi figura in basso). Se A non si muovesse mai, il suo futuro sarebbe ovviamente rappresentato dalla retta AA’.
Adesso semplifichiamo ancora la figura ed immaginiamo che lo spazio sia rappresentato da una sola dimensione. La nostra Terra e l’astronave sranno inserite in questo semplice schema. Cominciamo con la Terra che si muove con velocità che si può considerare costante. Per lei lo spazio è la linea sT ed il tempo è la linea tT. Il gemello Carlo si muoverà quindi lungo la retta tT, perché in questo sistema di riferimento nessuno si muove (ricordate qual è il futuro di un punto immobile nel cono di luce?). Ossia Carlo ed i suoi simili viaggiano con la Terra e quindi stanno fermi nel suo sistema di riferimento (a parte i trascurabili movimenti lungo la superficie del pianeta). Ma l’astronave invece ha un diverso sistema di riferimento, in quanto si muove nello spazio. Non chiedete di più, perché le cose sarebbero molto complicate e bisognerebbe tenere conto che per raggiungere una certa velocità si deve applicare un’accelerazione e cose del genere (e questa è la vera differenza tra le due teorie). Ma vi assicuro che il suo sistema di riferimento si deforma in quello rappresentato da sA e tA (l’angolo tra di loro non è casuale, ma segue precise formule matematiche). L’astronave si muoverà lungo il “suo” tempo tA che forma ovviamente un angolo con l’asse del tempo della Terra (infatti si muove rispetto al sistema di riferimento della Terra). Ad un certo punto arriva alla sua meta , la stella B. In che momento? Beh, nel sistema di riferimento terrestre questo istante è rappresentato dal punto B’ (per trovarlo bisogna infatti muoversi parallelamente al “suo” spazio sA).
L’astronave però adesso inverte immediatamente la rotta e torna verso la Terra (decelerazione e poi accelerazione in senso inverso …). Facendo questa manovra però cambia nuovamente il sistema di riferimento che adesso è rappresentato da sR e tR. Accidenti! Allora dobbiamo subito segnare il tempo relativo al punto di “inizio ritorno” nel sistema terrestre. Questa volta, per farlo, dobbiamo muoverci parallelamente alla linea sR (anzi proprio lungo la linea) e non più lungo la “vecchia” linea sA. Troveremo il punto B” ben più avanti rispetto a B’. Sulla Terra c’è stato un salto temporale, ma, per l’astronave, B è un punto unico: è solo cambiato il sistema di riferimento e quindi la posizione relativa nel sistema terrestre. Finalmente la nave torna a casa (nel punto C, che essendo sulla Terra, dovrà essere ovviamente contenuto nella retta tT). A questo punto è facile calcolare il tempo passato sulla Terra e quindi anche per Carlo: il tratto completo AC. Per Gianni, il tempo passato sull’astronave sarà stato AB + BC. Ma quando torna a Terra, il tempo passato con il metro terrestre sarà stato solamente AB’ + B’’C.
Niente da fare, nella relatività generale Gianni ha vissuto veramente meno di Carlo: il paradosso non esiste più!!” Carlo non capisce subito, ma riflettendoci sopra e vedendo gli stretti collegamenti con il cono di luce che varia, cambiando sistema di riferimento, alla fine si convince della validità della spiegazione. Il buon vecchietto ha proprio ragione: non è sicuramente uno stupidotto … Anzi! E gli stringe vigorosamente la mano ed è contento di aver capito, malgrado il fratello se la stia godendo con otto anni di meno. Lo scienziato lo saluta con una promessa eccitante: “la prossima volta ti farò vedere come si potrebbe viaggiare nel passato, utilizzando il cono di luce e le caratteristiche dei buchi neri … A presto!!”. E Carlo resta in trepida attesa della nuova avventura … teorica.
E magari anche voi, cari amici …
http://www.astronomia.com/2008/06/19/il-pa...emelli-parte-1/
http://www.astronomia.com/2008/06/23/il-pa...elli-parte-2/2/. -
Cavini.
User deleted
Ritengo che la pagina sul paradosso dei gemelli contenga fondamentali errori di impostazione. Il primo, abbastanza comune, è quello di considerare il "punto di vista del viaggiatore" come qualcosa di costante tra andata e ritorno. Esistono invece due punti di vista separati, che il viaggiatore assume alternativamente come propri nei due tragitti. E' noto che le esperienze di tempo e spazio dipendono dal nostro stato di moto; per questo andata e ritorno rappresentano non solo stati diversi, ma ancor più diversi tra loro che con la Terra. Per esempio: il gemello che si allontana dal proprio pianeta si considera fermo e immagina la Terra in veloce allontanamento, ragione per cui egli calcola che il ritorno sarà un lungo viaggio di inseguimento ad una velocità superiore a quella del pianeta, con conseguenze sul proprio futuro invecchiamento, ed è per questo che tornerà più giovane. Nel ritorno succede l'inverso.
Nessun osservatore, compreso il viaggiatore, si stupisce che il gemello a Terra accolga un fratello più giovane, ma a seconda dei punti di vista si spiega il fenomeno in modo diverso.
Nella vostra pagina si fa poi un uso poco chiaro dell'ultimo diagramma di Minkowski, dove si vorrebbe evidenziare il momento terrestre simultaneo a B per i vari osservatori. Per il gemello viaggiatore, durante l'andata B è simultaneo a B', perciò in termini di avvenimenti terrestri l'andata dura A-B' e il ritorno B'-C. Per il gemello viaggiatore durante il ritorno B è simultaneo a B'', perciò l'andata dura A-B'' e il ritorno B''-C. Sulla Terra invece B è simultaneo ad un evento a metà tra B' e B'', infatti in quel tipo di diagramma l'osservatore che si ritiene fermo e tutti i corpi che fanno parte del suo sistema di riferimento (come la stella) sono disegnati sempre come linee verticali, mentre gli eventi che lui ritiene simultanei giacciono sempre su una linea orizzontale.
L'affermazione poi che la relatività ristretta sia imperfetta è discutibile. Semplicemente questa prima teoria si riferisce ad uno spazio ideale dove non agisce nessuna forza gravitazionale. Comunque il paradosso dei gemelli non richiede il ricorso alla relatività generale. La storiella serve infatti per indagare circa le conseguenze che la semplice velocità ha sul tempo, e potrebbe essere congegnata anche rinunciando ai pianeti. Ed anche evitando le accelerazioni, utilizzando cioè veicoli spaziali in moto opposto che viaggiano senza fermate e sincronizzano i loro orologi mentre si incrociano.
Ho scritto una personale descrizione del "paradosso", che può essere letta ed eventualmente commentata, ma purtroppo non sono sicuro di riuscire ad inserire il link:http://www.mauriziocavini.it/Spigolature/Spighe4.html.
